一、畫正多邊形和正多角星形的關鍵＝＞外角
| 內角（度） | 外角（度） |
正三邊形 | 60 | 120＝360∕3 |
正四邊形 | 90 | 90＝360∕4 |
正五邊形 | 108 | 72＝360∕5 |
正六邊形 | 120 | 60＝360∕6 |
正七邊形 | 180－360∕7 | 360∕7 |
正八邊形 | 135 | 45＝360∕8 |
正九邊形 | 140 | 40＝360∕9 |
正十邊形 | 144 | 36＝360∕10 |
正十一邊形 | 180－360∕11 | 360∕11 |
正十二邊形 | 150 | 30＝360∕12 |
(一)當旋轉角度＝θ，且(θ，360)＝θ時，畫出來的圖形為正多邊形。而且當n的數字越大，旋轉的角度越小，
畫出來的正多邊形越趨向圓形，旋轉的次數越多，畫圖的時間也越長。
正n邊形 | n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 ……… n |
旋轉角度(θ) | 120 90 72 60 360∕7 45 40 36 ……… 360/n |
執行次數 | 3 4 5 6 7 8 9 10 ……… n |
n=3 | n=4 | n=5 |
| n=6 | n=7 | n=8 |
| n=9 | n=10 | n=12 |
| n=15 | n=18 | n=30 |
| n=60 | n=120 | n=360 |
(二)當旋轉角度＝β，且(β，360)＝M 如果 β÷M＝a (a≠1)， 360÷M＝b 且 ( a，b)＝1時，
則畫出來的圖形為正多角星形。
1、奇數角：旋轉角度為 ( 180－180∕n )∘
正五角星形 | 正七角星形 | 正九角星形 | 正十一角星形 |
正十三角星形 | 正十五角星形 | 正十七角星形 | 正十九角星形 |
2、偶數角：當正多角星形的角數是4的倍數時，每一個內角剛好是二個圓周角（等於一個圓心角），
所以每一個內角為 ( 360∕n)∘ ，外角＝ ( 180－360∕n)∘
二、以θ的角度旋轉和(360－θ)角度旋轉畫出來的圖形相同
三、旋轉角度和360的最大公因數相同，畫出來的正多角星形角數相同
最大 公因數 | 角度(度) | 執行次數 | 圖形 |
2 | 58、62、74、82、86、94、98、 106、118、122、134、142、146、 154、158、166、178 | 180 |
146度 86度 |
3 | 51、57、69、87、93、111、123、 129、141、147、159、177 | 120 |
147度 87度 |
4 | 52、68、76、92、116、124、148、 164、172 | 90 | 92度 148度 |
5 | 55、65、85、95、115、125、145、 155、175 | 72 | 85度 145度 |
6 | 66、78、102、114、138、174 | 60 | 78度 138度 |
8 | 56、64、88、104、112、128、 136、152、176 | 45 | 88度 136度 |
9 | 63、81、99、117、 153、171 | 40 | 81度 153度 |
10 | 50、70、110、130 170 | 36 |
70度 130度 |
12 | 84、132、156 | 30 | 84度 156度 |
15 | 75、105、165 | 24 |
75度 165度 |
18 | 54、126、162 | 20 |
54度 126度 |
20 | 100、140 | 18 | 100度 140度 |
24 | 96、168 | 15 | 96度 168度 |
30 | 150 | 12 | 150度 |
36 | 108 | 10 | 108度 |
40 | 80、160 | 9 | 80度 160度 |
當旋轉角度和360的最大公因數為45 ＝＞有45∘和135∘＝＞正八邊形和正八角星形
當旋轉角度和360的最大公因數為60 ＝＞有60∘和120∘＝＞正六邊形和正三邊形
當旋轉角度和360的最大公因數為72 ＝＞有72∘和144∘＝＞正五邊形和正五角星形
當旋轉角度和360的最大公因數為90 ＝＞有90∘ ＝＞正四邊形
當旋轉角度和360的最大公因數為120 ＝＞有120∘ ＝＞正三邊形
除了以上的角度，那麼旋轉角度為質數時，如53∘、61∘、67∘……等，或旋轉角度和360∘互質時，
如77∘、121∘等等， 程式必須執 行360次，亦即旋轉360次，畫筆才能回到起點，畫出來的圖形密密
麻麻，難以分辨。
四、正n角星形裡面是一個正n邊形
ex1、正五角星形裡面有一個正五邊形
ex2、正八角星形裡面有一個正八邊形
