06曲线之美




一、畫正多邊形和正多角星形的關鍵=>外角

 

 

內角(度)

外角(度)

正三邊形

60

1203603

正四邊形

90

903604

正五邊形

108

723605

正六邊形

120

603606

正七邊形

1803607

3607

正八邊形

135

453608

正九邊形

140

403609

正十邊形

144

3636010

正十一邊形

18036011

36011

正十二邊形

150

3036012

  

  ()當旋轉角度=θ,且(θ,360)=θ時,畫出來的圖形為正多邊形。而且當n的數字越大,旋轉的角度越小,

          畫出來的正多邊形越趨向圓形,旋轉的次數越多,畫圖的時間也越長。 

n邊形

n=3   n=4   n=5   n=6   n=7   n=8   n=9   n=10 ………  n

旋轉角度(θ)

120   90    72    60   3607  45    40    36   ……… 360/n

執行次數

 3     4     5     6     7     8     9     10   ………  n

 

n=3

n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
n=10
n=12
n=15
n=18
n=30
n=60
n=120
n=360

 

  ()當旋轉角度=β,且(β,360)M  如果 β÷Ma (a1) 360÷M ( ab)1時,

          則畫出來的圖形為正多角星形。 

        1奇數角:旋轉角度為 ( 180180n ) 

正五角星形

正七角星形

正九角星形

正十一角星形

正十三角星形

正十五角星形

正十七角星形

正十九角星形

 

        2偶數角:當正多角星形的角數是4的倍數時,每一個內角剛好是二個圓周角(等於一個圓心角),

                                     所以每一個內角為 ( 360n)∘ ,外角= ( 180360n)

 

正八角星形

正十二角星形

正十六角星形

正二十角星形


二、以θ的角度旋轉和(360-θ)角度旋轉畫出來的圖形相同

 

 三、旋轉角度和360的最大公因數相同,畫出來的正多角星形角數相同

 

最大

公因數

角度()

執行次數

圖形

2

58627482869498

106118122134142146

154158166178

180

  

 

                                                                                         

         
                   
        146度                                  86度

3

5157698793111123

129141147159177

120

    

    

       


               
           147                                                   87

4

52687692116124148

164172

90

  

   

  

           92                                           148

5

55658595115125145

155175

72

    

    

  

                    85                                                          145

6

6678102114138174

60

    

   

     

                       78                                             138

8

566488104112128

136152176

45

   

   

       

              88                                     136

9

638199117

153171

40

   

   

       

             81                                        153

10

5070110130

170

36

   

     

   


                            70                                              130

12

84132156

30

   

  

     

   

                       84                                          156

15

75105165

24

  

  
    


                           75度                                       165

18

54126162

20

  

       



                              54                                                  126

20

100140

18

 

      

      

                  100                                     140

24

96168

15

    

    

      

                 96                                      168

30

150

12

             150

36

108

10

     

     108

40

80160

9

    

 

  

     

                            80                                    160

 

               當旋轉角度和360的最大公因數為45 =>有45∘和135∘=>正八邊形和正八角星形 

               當旋轉角度和360的最大公因數為60 =>有60∘和120∘=>正六邊形和正三邊形 

               當旋轉角度和360的最大公因數為72 =>有72∘和144∘=>正五邊形和正五角星形 

               當旋轉角度和360的最大公因數為90 =>有90       =>正四邊形 

               當旋轉角度和360的最大公因數為120 =>有120     =>正三邊形


               除了以上的角度,那麼旋轉角度為質數時,如53∘、61∘、67∘……等,或旋轉角度和360∘互質時,

           如77∘、121∘等等, 程式必須執  行360次,亦即旋轉360次,畫筆才能回到起點,畫出來的圖形密密

           麻麻,難以分辨。


四、正n角星形裡面是一個正n邊形

 

ex1、正五角星形裡面有一個正五邊形                                  

                         


        ex2、正八角星形裡面有一個正八邊形

                          

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曲線.jpg
(211k)
謝東森,
2020年12月26日 上午4:45
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