08.10百文百雞

公雞每隻5文錢,母雞每隻3文錢,3隻小雞1文錢。現在用100文錢買100隻雞,問你這100隻雞里公雞、母雞、小雞各幾隻。


 
按照現代的做法,就是求不定方程整數解,不過咱現在考慮怎麼教孩子,所以現代方程式的方法先不提,有興趣的話,最後我們看一下即可。


這個問題,我現在還沒完全想好怎麼歸納(也許奧數輔導教材里已經有歸納好的?),在我看來,這個跟「雞兔同籠」問題,有點點類似,都是往其中一個上靠死,然後慢慢的看差額一點點放開,具體來說:

第一步,全買公雞

100文錢買20隻公雞,錢是花光了,可是說好的100隻雞呢?還差了80隻雞。那怎麼辦呢?那就要開始考慮置換了。

買房子的置換,是指房子數量不變,但是換個更好的,咱這裡的置換,是指金額不變,鎖定在100文,怎麼樣換到更多的雞,讓雞的總數到100隻。

第二步,算好匯率


 
按照三種雞的價格,分別計算後,應該為:公雞換母雞,3換5,凈增2(這裡要特別注意,這裡換一次就需要3隻公雞,目前總共只有20隻);公雞換小雞,1換15,凈增14;母雞換小雞,1換9,凈增8隻。

後續的計算,我們就要用2、14、8這三個數字來湊出差額了。

第三步,開始置換

80這個數字很容易湊,5×15+5×2=80,也就是說,凈增5次15、5次2即可,換句話說,5隻公雞換75隻小雞、15隻公雞換25隻母雞。

任務完成,最終結果:0隻公雞、25隻母雞、75隻小雞。

但是!如果題目要求,公雞、母雞、小雞,都要有,咋辦?

那就要重新換個做法用2、14、8三個數字去湊80了,比如, 4×2+2×8+4×14=80, 過程為:先換4次(3公雞換5母雞),也就是12隻公雞換20隻母雞;然後2次(1母雞換9小雞),也就是拿出2隻母雞換18隻小雞;最後換4次(1公雞換15小雞),也就是4公雞換60小雞。


 
最終:公雞20-12-4=4隻;母雞20-2=18隻;小雞18+60=78隻

還有沒有其他答案?當然有,但是這樣組合不太容易,要自己慢慢湊,而且要置換的時候確保有足夠的數量可以換。以上述流程為例,你說我拿10隻母雞換90隻小雞不就可以了。但是,你手頭只有20隻公雞,哪裡來的10隻母雞?所以,限制條件也比較多。

——————————————————————

上述方法只適合教孩子推算的過程和原理,不適合真正用來解題。真正解題則用到求不定方程:

假設公雞母雞小雞分別為xyz,則有:

5x+3y+z/3=100……式①

x+y+z=100……式②

式①×3-式② ====> 14x+8y=200 ====> 7x+4y=100 ====> y=25-7x/4

考慮到xyz都是整數,所以x一定是4的倍數,假設x為4k(k為整數),則y=25-7k;z=75+3k

k=0時,xyz分別為0、25、75(假如規定公雞母雞小雞都要有,則這個答案不列為最終答案之一)


 
k=1時,xyz分別為4、18、78

k=2時,xyz分別為8、11、81

k=3時,xyz分別為12、4、84

k≥4時,y為負,不成立了

————————

微信公眾號:黑馬育兒(heima_yuer)

Comments