08.08百僧分饃

題目編輯
大意如下:

“一百個和尚分一百個饅頭,
大和尚一人分三個,
小和尚三人分一個,
正好分完。
問大、小和尚各幾人?”.

一般說來,解答此題需用二元一次方程。那麼,如何使小學生掌握此題的解答,現列舉以下幾種解法。
解答方案編輯

假設法

解1 

假設這100人全是大和尚,則共需(3×100=)300個饅頭,而實際只有100個,為什麼相差(300-100=)200個?是因為100人中有一部分
大和尚人數:100-75=25(人)(提問:75是怎麼來的?)
同理,也可“假設100人全是小和尚”而求解。
小和尚人數為:3×25=75(人)
大和尚人數為:100-75=25(人)
當然,我們假設100個饅頭全分給了小和尚,也能解答此題。

解2 

假設這100人全為小和尚,那麼小和尚吃飽了後,饅頭堆裡還剩下(100-100/3)個饅頭,而實際上已經全部吃完,為什麼會全部吃完呢,原來這剩下的饅頭被和尚群裡的大和尚吃了,開始是沒有算大和尚的飯量的,所以現在就要補上大和尚的飯量,補上的大和尚的飯量是(3-1/ 3),用剩下的饅頭個數和補上的大和尚的飯量之商,即大和尚的人數(100-100/3)/(3-1/3)=25(人),
當然就可以得到小和尚的人數:100-25=75(人)
若全假設大和尚的話,也一樣,這類問題和雞兔問題的解法(砍足法)差不多。當然用方程解是最好的。
列方程法

解3 

設大和尚有x人,則小和尚有(100-x)人,根據題意列方程,得
3x+(100-x)/3=100
大和尚:x=25(人) 小和尚:100-x=75(人)
解3.1 設大和尚x人,小和尚y人,根據題意(按題找關係),得
x+y=100 解得:x=25(人)
3x+y/3=100 y=75(人)

圖示法

上述幾種解法,優等生是能掌握的,但有些學生則會感到困難。如何使絕大多數學生都能解答“百僧分饃”問題,筆者根據小學生思維須藉助形象性的特點,想到了圖示法,在小學數學活動課中試驗,效果十分理想。

解4

根據題意,作示意圖如下:
100個饅頭以圖中所示4個、4個地被分給眾和尚。100個饅頭剛好分成100÷4=25組,每一組饅頭分給了1個大和尚與3個小和尚,由此可得:
大和尚人數為: 1×25=25(人)
小和尚人數為:3×25=75(人)

用圖示法解題,雖不如“假設法”或“列方程法”嚴密,但能促進學生理解本題的數量關係,易於被小學生掌握。同時,這對於培養小學生的直覺思維也有一定的作用。實際教學時,如能指導學生先用圖示法解答,再學習其他幾種解法,定可使多數學生學會“百僧分饃”問題的解答,從而收到事半功倍之效。

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百僧分馍

这是我国明代珠算家程大位的名著《算法统宗》里的一道著名算题;

一百馒头一百僧,大和三个更无增。小和三人分一个,大小和尚得几人?

答曰:大和尚二十五人,该馒头七十五个。小和尚七十五人,该馒头二十五个。

法曰:置僧一百名为实,并三个、一个得四个为法除之,得大僧二十五人。以每人三个因之,得馒头七十五个。于总僧内减大僧,余七十五个小僧。以三人归之,得馒头二十五个。合问。

意思是:现有100个和尚100个馒头,大和尚每人分三个馒头,小和尚三人分一个馒头。问大小和尚各有多少?各分多少个馒头?



方程解:

设大和尚x人,小和尚y人,则:

x+y=100

3x+y/3=100

得x=25 y=75

则大和尚25人,得75个馒头;小和尚75人,得 25个馒头。



假设法:

假设100人全是大和尚,应该吃3x100=300(个)

多吃了300-100=200(个)

为什么多吃了200个呢?这是因为把小和尚当成大和尚。那么把小和尚当成大和尚时,每个小和尚多算了3-1/3=8/3(个)

每个小和尚多算了8/3个,一共多算了200个,所以小和尚有:200/8/3=75(人)。

大和尚有100-75=25(人)

小试身手:

幼儿园大班和小班共有30个小朋友,现将230个苹果分给他们,已知大班每个小朋友分10个,小班每个小朋友分5个,问:大班和小班各多少人?
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